Canaux de Transmission

Les 3 Concepts Essentiels

  1. Canal de transmission = {X, Y, p(yi/xj)}: - X = alphabet d'entrée - Y = alphabet de sortie - p(yi/xj) = probabilités de transition

  2. Types de canaux: - Canal symétrique (même proba par ligne/colonne) - Canal binaire symétrique (CBS) - Canal à effacement

  3. Capacité C = maxp(x) I(X,Y): - Pour canal symétrique: utiliser équiprobabilité - C = 1 - H2(p) pour CBS - C = 1 - p pour canal à effacement

Formules Fondamentales

\[\begin{split}I(X,Y) &= H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) \\ H_2(p) &= -p\log_2(p) - (1-p)\log_2(1-p) \\ C &= \max_{p(x)} I(X,Y)\end{split}\]

Procédure de Calcul de la Capacité

  1. Si canal symétrique: - Poser p(xi) = 1/n pour tout i - Calculer I(X,Y) directement

  2. Si canal non symétrique: - Calculer H(Y) et H(Y|X) - Maximiser I(X,Y)

  3. Pour vérifier transmission possible: - Calculer H'(S) = H(S) × DS - Calculer C' = C × DC - Vérifier H'(S) < C'

Exemple CBS Résolu

Canal binaire symétrique p = 0.1:

Entrée X | Sortie Y | Probabilité
0 → 0     | 0.9
0 → 1     | 0.1
1 → 0     | 0.1
1 → 1     | 0.9

  1. Comme symétrique, p(X=0) = p(X=1) = 1/2

  2. Calcul H(Y): - p(Y=0) = p(Y=1) = 1/2 - H(Y) = 1 bit

  3. Calcul H(Y|X): - H(Y|X) = H2(0.1)

  4. Capacité: C = 1 - H2(0.1) ≈ 0.531 bits

Vérifications Importantes

  1. Pour tout canal: - Somme des probabilités par ligne = 1 - 0 ≤ C ≤ log2(min(|X|,|Y|)) - C = 0 pour canal inutile

  2. Pour transmission: - H'(S) < C' - DS × H(S) < DC × C

Pièges à Éviter

  1. Ne pas oublier: - Vérifier symétrie avant calcul - Convertir unités (Kbits/s) - Vérifier somme = 1

  2. Attention à: - Bien identifier le type de canal - Utiliser la bonne formule de capacité - Convertir log2 en bits

Pour l'Examen

  1. Identifier le type de canal

  2. Appliquer procédure correspondante

  3. Pour transmission: comparer H'(S) et C'

  4. Vérifier unités et conversions