Diagonalisation Matrices

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Ce guide est optimisé pour l'examen avec une Casio Graph 35+E

Avant de Commencer

  1. Enregistrer dans la calculatrice: * Menu MATRIX * Créer MAT A (matrice donnée) * Créer MAT I (matrice identité de même taille)

Recette pour Matrices 2×2

ÉTAPE 1: Polynôme Caractéristique

Pour A = [a b]

[c d]

  1. Calculer det(A - λI): * p(λ) = (a-λ)(d-λ) - bc * = λ² - (a+d)λ + (ad-bc) * [CALC] Menu EQUA pour résoudre p(λ) = 0

  2. Noter les valeurs propres λ₁ et λ₂: * Si λ₁ ≠ λ₂: Continue * Si λ₁ = λ₂: Vérifier si A déjà diagonale

ÉTAPE 2: Vecteurs Propres

Pour chaque λ:

  1. Former (A - λI): * [CALC] MAT A - λ×MAT I

  2. Résoudre (A - λI)X = 0: * Une équation suffit souvent * Exprimer y en fonction de x * Simplifier avec des nombres entiers

ÉTAPE 3: Matrices P et D

  1. Matrice P: Mettre les vecteurs en colonnes

  2. Matrice D: Mettre les λ sur la diagonale

Exemple du Final (2×2)

A = [0 1]

[y -4+2x]

  1. Polynôme: * p(λ) = λ² - 2xλ + (4-y) * [CALC] Δ = 4x² + 4y - 16 * Diagonalisable si x² + y > 4

  2. Résolution: Pour λ₁ et λ₂ trouvés: * (A - λᵢI)X = 0 * Former P avec les vecteurs trouvés * D = [λ₁ 0]

    [0 λ₂]

Cas Spéciaux Fréquents

  1. Matrice Triangulaire: * Valeurs propres = diagonale * Exemple du TD: [3 0 0]

    [2 2 0] [1 1 1]

    • λ₁ = 3, λ₂ = 2, λ₃ = 1

  2. Questions de Cours: * Si λ est v.p. de A:

    • λⁿ est v.p. de Aⁿ

    • 1/λ est v.p. de A⁻¹

    • det(A) = produit des v.p.

    • tr(A) = somme des v.p.

Vérifications Finales

  1. P⁻¹AP = D

  2. Les vecteurs sont en nombres entiers

  3. Ne pas oublier la condition de diagonalisation

Formules des Déterminants (À APPRENDRE PAR CŒUR)

1. DÉTERMINANT 2×2

Pour |a b|

|c d|

det = ad - bc

Tip

Mémo visuel: Produit diagonale principale - Produit diagonale secondaire

2. DÉTERMINANT 3×3 (Méthode de Sarrus)

Pour |a b c|

|d e f| |g h i|

det = a×e×i + b×f×g + c×d×h - (c×e×g + a×f×h + b×d×i)

Tip

Mémo: 1. Recopier les 2 premières colonnes à droite 2. Somme des produits descendants (→) 3. Moins somme des produits montants (←)

3. EXEMPLES COURANTS

  1. Pour det(A - λI) en 2×2: |a-λ b | |c d-λ| = (a-λ)(d-λ) - bc = λ² - (a+d)λ + (ad-bc)

  2. Pour det(A - λI) en 3×3: |a-λ b c | |d e-λ f | |g h i-λ| = -λ³ + (a+e+i)λ² - ...

4. ASTUCES RAPIDES

  • Si matrice triangulaire: det = produit diagonale

  • Pour A - λI: toujours développer en factorisant λ

  • Vérifier que le terme de plus haut degré est (-1)ⁿλⁿ

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En examen: Factoriser le polynôme caractéristique pour trouver les valeurs propres plus facilement !

Simplification des Vecteurs Propres - Guide Express

1. RÈGLE D'OR

  • Toujours choisir les nombres entiers les plus petits possibles

  • Si x est libre, on prend souvent x = 1

2. CAS TYPIQUES

  1. Cas: y = x * Solution: x = 1, y = 1 * Vecteur: e = [1]

    [1]

  2. Cas: y = -x * Solution: x = 1, y = -1 * Vecteur: e = [ 1]

    [-1]

  3. Cas: y = 2x * Solution: x = 1, y = 2 * Vecteur: e = [1]

    [2]

3. CAS AVEC FRACTIONS

Si vous obtenez y = x/2: 1. Multiplier tout par 2 2. Prendre x = 2, y = 1 3. Vecteur final: e = [2]

[1]

4. EXEMPLE DU FINAL

Pour (A - λI)X = 0:

  1. Si vous obtenez: y = -3x * Prendre x = 1 * Donc y = -3 * e = [ 1]

    [-3]

  2. Si vous obtenez: y = x + z et z libre * Prendre x = 1, z = 0 * Donc y = 1 * e = [1]

    [1] [0]

5. VÉRIFICATION

  • Les composantes doivent être des entiers

  • Le vecteur doit être le plus simple possible

  • [CALC] Vérifier Ae = λe

Tip

Si tous les coefficients sont des fractions, multipliez le vecteur par leur dénominateur commun pour obtenir des entiers.

Tip

En examen: * Commencer par les cas spéciaux * Privilégier les calculs simples * Vérifier la cohérence des résultats