Développements Limités

DLx(y) = QUOI ?

  • DL3(0) = Développement Limité à l'ordre 3 autour de 0

  • Exemple: DL3(0) de f(x) = x + x² + x³ + x⁴ → On garde que x + x² + x³ et on écrit "+ o(x³)"

o(x²) = QUOI ?

  • o(x²) = "négliger tout ce qui vient après x²"

  • Exemple: x + x² + x³ + x⁴ = x + x² + o(x²)

  • RÈGLE: écrire o(x^n) où n = ordre demandé

FORMULES DE BASE (données en exam)

  1. e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + o(x³)

  2. ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 + o(x³)

  3. sin(x) = x - x³/6 + o(x³)

  4. cos(x) = 1 - x²/2 + o(x²)

  5. 1/(1-x) = 1 + x + x² + o(x²)

RECETTE RAPIDE

  1. Fonction simple → utiliser formule du tableau

  2. Produit f×g → multiplier leurs DL

  3. Quotient f/g → faire (1/g)×f

  4. Composée f(g(x)) → remplacer x par g(x)

EXEMPLE EXPRESS: f(x) = sin(x)/x

  1. sin(x) = x - x³/6 + o(x³)

  2. Diviser par x: (x - x³/6)/x = 1 - x²/6 + o(x²)

F'(x) et F''(x) ?

  • F'(x) = dérivée première

  • F''(x) = dérivée seconde

  • RACCOURCI: Dans DL, coefficient de x^n = F^(n)(0)/n!

TECHNIQUE DE SURVIE

  1. Toujours écrire "+ o(x^n)" à la fin

  2. Pour multiplication: garder que les x^n où n ≤ ordre

  3. Pour division: faire comme une division classique

  4. Si bloqué: utiliser la calculatrice pour vérifier

EN CAS DE PANIQUE

  1. Regarder si forme ressemble à formule du tableau

  2. Si produit: faire terme à terme

  3. Si quotient: transformer en produit avec 1/(...)

  4. Vérifier l'ordre demandé

  5. Ne pas oublier o(x^n)

Formules Données en Examen

Note

Vous aurez accès au tableau des DL usuels. L'objectif est de transformer votre fonction pour utiliser ces formules.

Méthode Express en 5 Étapes

1. IDENTIFIER LE TYPE DE CALCUL

  1. Si fonction composée avec exponentielle: * ln(1+x) → Utiliser DL de ln * e^(f(x)) → faire DL de f(x) puis composer avec DL de exp

  2. Si fraction: * Faire DL numérateur et dénominateur séparément * Diviser les polynômes

  3. Si racine: * Utiliser DL de (1+x)^α avec α = 1/2

2. TROUVER L'ORDRE NÉCESSAIRE

  • Pour une limite: ordre = degré où apparaît la première différence

  • Pour un DL: ordre demandé + 1 pour être sûr

  • Pour une somme/produit: même ordre pour tous les termes

3. CALCUL PRATIQUE [CALC]

Pour calculer rapidement: 1. Stocker les DL intermédiaires dans la calculatrice 2. Utiliser CALC → POLY pour multiplier les polynômes 3. Ne garder que les termes jusqu'à l'ordre voulu

4. RÈGLES DE CALCUL

  • Somme: Aligner et additionner les termes de même degré

  • Produit: Distribuer et ne garder que les termes ≤ ordre demandé

  • Quotient: Division des polynômes avec reste

5. VÉRIFICATION

  • Les puissances de x doivent être croissantes

  • Vérifier la cohérence du premier terme non nul

  • [CALC] Tracer les graphes des deux fonctions autour du point

Exemple Type (Final)

Question: f(x) = cos(x)ln(1+x) à l'ordre 4 en 0

  1. Identifier: * Produit de deux fonctions * Besoin des DL de cos(x) et ln(1+x)

  2. Ordre: * Demandé: 4 * Faire DL à ordre 4 pour chaque fonction

  3. Application: cos(x) = 1 - x²/2 + x⁴/24 + o(x⁴) ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + o(x⁴)

  4. Multiplication: * (1)(x) = x * (1)(-x²/2) = -x²/2 * (-x²/2)(x) = -x³/2 * Etc...

  5. Résultat Final: f(x) = x - x²/2 - x³/6 + o(x⁴)

Pièges à Éviter

  1. Ne pas oublier o(x^n) dans l'écriture

  2. Bien vérifier l'ordre demandé

  3. Pour les limites, factoriser par la plus grande puissance

Tip

En examen: Toujours commencer par les questions sur les DL car elles donnent souvent des points faciles.